TRIGONOMETRI
TRIGONOMETRI
A. Ukuran Sudut
1. Ukuran Derajat
Besar sudut dalam satu putaran
adalah 360°. Berarti 1°= 1/360 putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat
adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).
Hubungan ukuran sudut menit,
detik, dan derajat adalah:
2. Ukuran Radian
Satu radian adalah besar sudut
pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
3. Hubungan Derajat dengan Radian
Untuk mengubah sudut
sebesar �� ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:
Dan untuk mengubah sudut
sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:
Contoh Soal
1. Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!
Jawab :
2. Nyatakan sudut 154° ke satuan radian!
Jawab:
3. Suatu lingkaran memiliki panjang busur 15 cm dan dengan sudut pusat 45°, carilah
jari-jari lingkaran tersebut!
Jawab:
Kita harus
merubah ��= 45° ke dalam bentuk radian.
B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga
Siku-Siku
Perhatikanlah
gambar berikut!
Jika dipandang dari sudut ��, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut
sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring.
Jika sisi AB = x, sisi BC = y,
dan sisi AC = r, maka
Contoh
soal
1. Perhatikan
gambar berikut!
Diketahui panjang AC = 9 cm, dan panjang AB = 12 cm, dengan sudut b = ��. Tentukan nilai dari sin ��, cos ��, dan tan ��!
Pemecahan:
2. Jika sin 15°= y.
Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y!
a. Cos 15°
b. Tan 15°
c. Sin 75°
d. Cos 75°
e. Tan 75°
f. Cosec 15°
g. Cotan 75°
h. Sec 75°
Pemecahan:
a. Cos 15°
b. Tan 15°
c. Sin 75°
d. Cos 75°
e. Tan 75°
f. Cosec 15°
g. Cotan 75°
h. Sec 75°
3. Jawablah
pertanyaan berikut!
a. Diketahui 
, tentukanlah
nilai dari sin α, tan α, dan cosec α!
, tentukanlah
nilai dari sin α, tan α, dan cosec α!
b. Tentukan nilai
dari
Pemecahan:
a. Diketahui 
b. Nilainya adalah
C. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Dalam satu
putaran, yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu:
1. Kuadran
I : 0°≤
α ≤ 90°
2. Kuadran
II : 90° < α ≤
180°
3. Kuanran
III : 180° < α ≤ 270°
4. Kuadran
IV : 270° < α ≤ 360°
Perhatikan
gambar berikut!
1. Perbandingan
Trigonometri Sudut di Kuadran I
Pada ∆ AOC, berlaku:
Pada ∆
BOC, berlaku:
2. Perbandingan
Trigonometri Pada Sudut Kuadran II
Pada ∆ AOC,
berlaku: ∠α = 180°- ��
3. Perbandingan
Trigonometri Pada Sudut Kuadran III
Pada ∆ AOC
berlaku: ∠ AOP = α
4. Perbandingan
Trigonometri Pada Sudut Kadran IV
sin (360° - ��) = - sin ��
cos (360° - ��) = cos ��
tan (360° - ��) = - tan ��
cosec (360° - ��) = - cosec ��
sec (360° - ��) = sec ��
cotan (360° - ��) = - cotan ��
5. Perbandingan
Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360° atau Sudut Negatif
a. Perbandingan
Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360°
Sin (k × 360° + ��) = sin ��
Cos (k × 360° + ��) = cos ��
tan (k × 360° + ��) = tan ��
cosec (k × 360° + ��) = cosec ��
sec (k × 360° + ��) = sec ��
cotan (k × 360° + ��) = cotan ��
Keterangan:
k =
banyaknya putaran, dengan nilai k adalah bilangan bulat positif.
b. Perbandingan
Trigonometri Sudut Negatif
Sin (- ��) =
-sin ��
Cos (-��) =
cos ��
tan (-��) =
-tan ��
cosec (-��) =
-cosec ��
sec (-��) =
sec ��
cotan (-��) =
-cotan ��
Contoh
Soal
1. Nyatakan sudut
berikut kedalam perbandingan trigonometri sudut lancip positif!
a. Sin 175°
b. Cos 325°
c. Sec (-225°)
d. Tan 780°
e. Sin 3500°
Pemecahan:
2. Diketahui sin
35° = 2k, nyatakan trigonometri sudut berikut dalam k!
a. Sin 55°
b. Cos (-215°)
Pemecahan:
D. Persamaan Trigonometri sin x = sin α, cos x =
cos α, dan tan x = tan α
1. Jika sin x = sin
α, maka x = α + k . 360° atau x = (180° - α) + k . 360°
2. Jika cos x = sin
α, maka x = α + k . 360° atau x = (360° - α) + k . 360° = -α + k . 360°
3. Jika tan x = tan
α, maka x = α + k . 180°
Contoh
Soal
1. Tentukan himpunan
penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!
a. Sin x = sin ⅚ ��, 0 ≤ x ≤ 2��
Pemecahan:
a. Sin x = sin ⅚ ��, 0 ≤ x ≤ 2��
Himpunan
penyelesaian = {⅚ ,⅙��}
2. Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!
a. Sin x = cos 300°,
15°≤ x ≤ 360°
b. Cos x = cotan
135°, 0°≤ x ≤ 360°
Pemecahan:
a. Sin x = cos
300°, 15°≤ x ≤ 360°
Himpunan
penyelesaian={30°,150°}
b. Cos x = cotan
135°, 0°≤ x ≤ 360°
Himpunan
penyelesainnya adalah {180°}
E. Identitas Trigonometri
1. Rumus Dasar
2. Menentukan Identitas Trigonometri
a. Ubah bentuk ruas kiri hingga sama dengan bentuk ruas kanan.
b. Ubah bentuk ruas kanan hingga sama dengan bentuk tuas kiri.
c. Kedua ruas diubah hingga didapat bentuk baru yang sama.
Contoh Soal
1. Buktikan bahwa sec2 �� +
tan2 �� = 2tan2��+1
2. Buktikan bahwa sec Y – cos Y = sin Y . tan Y
Penyelesaian:
1. sec2 �� + tan2 �� =
2tan2��+1
Ruas kiri
= tan2 �� + 1 + tan2 ��
= 2 tan2 ��+1
2. sec Y – cos Y = sin Y . tan Y
bukti dengan mengubah ruas kiri
F. Trigonometri Pada Segitiga Sembarang
1. Aturan Sinus
Rumus:
Contoh soal
1) Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang x dalam
cm!
Penyelesaian:
2. Aturan Cosinus
Rumus:
a2 = b2+c2 -
2bc cos ��
b2 = a2+c2 -
2ac cos ��
c2 = a2+b2 -
2ab cos ��
Contoh soal
1) Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang PR!
Pemecahan:
PR2 = RQ2 +
PQ2 – 2RQPQ cos ∠ Q
PR2 = 172 +
302 – 2 . 17 . 30 cos 53°
PR2 = 289 + 900 – 1020 .
⅗
PR2 = 1189 – 612
PR2 = 577
PR = √577 = 24,02 cm
3. Luas Segitiga
Rumus:
L = ½ ab sin ��
L = ½ bc sin ��
L = ½ ac sin ��
Contoh Soal
1. Hitunglah luas ABCD berikut!
Pemecahan:
a. Untuk ∆ BCD
Luas ∆ BCD = ½ BD.CD. sin ∠ D
Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . sin 30°
Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . ½ = ¼ .
216√12 = 108√3 cm2
b. Untuk ∆ ABD
Luas ∆ ABD = ½ AD.BD. sin ∠D
Luas ∆ ABD = ½ . 18. 18√2 . sin 105°
